Algebraische Geometrie I by Heinz Spindler PDF

By Heinz Spindler

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B) Es sei I R; I 6= R ein Ideal in R. I hei t Primideal, wenn eine der folgenden aquivalenten Bedingungen erfullt ist: i) 8 a; b 2 R : ab 2 I ) a 2 I oder b 2 I. ii) R=I ist Integritatsbereich. c) Es sei I R; I 6= R ein Ideal. I hei t maximales Ideal in R, wenn eine der folgenden aquivalenten Bedingungen erfullt ist: i) Ist I R Ideal mit I $J, so ist J = R. ii) R=I ist ein Korper. Beweis: Es sei ' : R 7 ! R=I die Restklassenabbildung. b) i) , ii) I $R () R=I 6= 0: '(a)'(b) = 0 () '(ab) = 0 () ab 2 I; a 2 I oder b 2 I () '(a) = 0 oder '(b) = 0: c) i) ) ii) Es sei a 2 R mit '(a) = 6 0.

8 (Homomorphiesatz) Ist ' : R ! S ein surjektiver Ringhomomorphismus, I = ker ', so induziert ' einen Isomorphismus ' : R=I ! 9 Ist I R ein Ideal und ' : R ! R=I die Restklassenabbildung, so ist fJ j J Ideal in R=I g ! fJ j J Ideal in R mit I J g; J 7 ! J := ' 1(J) eine Bijektion mit Umkehrabbildung J 7 ! 10 Es sei R ein Ring. a) R hei t Integritatsbereich () R 6= 0 und 8 a; b 2 R : ab = 0 ) a = 0 oder b = 0. b) Es sei I R; I 6= R ein Ideal in R. I hei t Primideal, wenn eine der folgenden aquivalenten Bedingungen erfullt ist: i) 8 a; b 2 R : ab 2 I ) a 2 I oder b 2 I.

P3 @@ p@ 2 @ p1 L13 L12 L23 (Ubung: Es sei Q1 = L12 L13; Q2 = L12L23 ; Q3 = L13 L23. Ein Kegelschnitt V(Q) enthalt X dann und nur dann, wenn Q = a1 Q1 + a2 Q2 + a3 Q3 mit ai 2 K gilt. Fur welche ai ist Q nicht entartet? Hinweis: Bestimme dimK fQ 2 S2 j Q(pi) = 0 fur i = 1; 2; 3g). Es sei d 4. X = fp1; : : :; pdg, X n fpd g nicht auf einer Geraden. ) X 0 = X n fpd g = V(F1; : : :; Fr ), deg(Fi) < d 1, fpd g = V(L1; : : :; Ln), deg(Lj ) = 1 ) deg(Fi Lj ) < d und X = X 0 fpd g = V(fFiLj j i = 1; : : :; r; j = 1; : : :; ng).

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by Thomas
4.4

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